导数

导数

• 某点左导数连续可推左连续，右导数连续可推右连续

• 连接导数与函数的桥梁是中值定理

  • 尤其是拉格朗日中值定理的使用

• 对于奇函数来说，右导数存在使用奇函数的性质能推出左导数存在

• 零点问题与方程根的问题

  • 通常将零点问题转换为函数等于零时的方程根问题，进行求导，数形结合
    • 含参数的函数，通常将参数分离出来

• 反函数求导

  • 首先注意二阶导要对x为变量的函数再求导
  • 其次若求具体点的值，要注意变量值是x的还是y的

• 高阶导数

  • 具体点考虑泰勒公式

  • 注意函数的性态，尤其是奇偶性

  • 三角函数中尤其注意高阶三角公式

    • （sinx）^(n)^=sin(x+n·$\frac {Π}{2}$)
    • （cosx）^(n)^=cos(x+n·$\frac {Π}{2}$)

  • 求某点导数时看见熟悉的泰勒公式也可以活用

  • 复杂分式需要进行等价无穷小替换的

    • 利用导数定义，构建极限，使用等价无穷小

  • 形如$\frac {x^3}{x^2-3x+2}$类型的因式，分解方法(个人向)

    • 从最高阶开始加项减项凑分母，将高阶（分子阶数减分母阶数）提为公因子，不断降阶
    • 降到最低阶就变成简单因式分解，容易拆项

  • n方差就是 x^n^-1=(x-1)(x^(n-1)^+x^(n-2)^+…+x+1)

    • a^n^-b^n^=(a-b)(a^(n-1)^+a^(n-2)^b+…+ab^(n-2)^+b^(n-1)^)