积分

积分

• 注意变上限积分、定积分与不定积分之间的计算细节区别

  • 注意区分好积分变量

• 注意变限积分的积分区域的分段问题

• 注意原函数的任意性（+C），换元中的任意性（可加任意常数）

• 看见对称区间的积分首先想到奇偶性

  • 奇偶性可以使用平移对称轴的思想进行区间的变换来计算积分

• 看见变上限积分等式一般想两边求导，看见定积分与函数等式一般想改写后两边积分

• 看道分段函数的积分要注意在分界点上的值相等，也就是

• 解定积分时可以尝试使用几何意义

  • 如根号下的平方式可以尝试圆的面积求解

• 做定积分等式时可以尝试拆项巧用分部积分法等方法，尝试将无法求解的项转换为题目的已知条件

• 不能分解因式的有理分式

  • 分母不能因式分解。则将被积函数拆成两项, 一项的分子为分母的导数或凑成分母的形式, 并且使得第二项的分子中只含常数

• 使用定积分的定义注意看好n等分的区间，如0-Π n等分后每个子区间长度为Π/n

• 算积分时很多时候可以注意积分区间端点值，代入值或区间变换等一系列做法

• 看不出来的式子可以先用分部积分法拆开后再进行判断

• 很多式子计算使用分部积分法后可以得到原式，从而移项除以2得到积分的结果

• 注意对难解因式的加项减项拆，凑分母或凑分母的导数的使用

• 出现一次项的sin和cos且无法求解时，可以尝试使用倍角公式化为平方项转化为sec和tan求解

• sinx与cosx的常用关系

  • （cosx)^2^的导数是（-2cosx·sinx）

• 有关tanx的积分，注意tanx与secx的关系，看到secx与tanx同时出现一定要注意

  • 找不到secx也可以找cosx
  • （secx）^2^=1+（tanx）^2^
  • （tanx）’=(secx)^2^

• 注意e^x^型的导数很多情况下仅仅是其本身的倍数，容易在此形式上作文章

  • 很多e^x^型的积分也经常使用换元的思想来求解

• 积分不等式常用方法

  • 变量代换
  • 积分中值定理
  • 变上限积分
  • 柯西积分不等式
  • 三条积分不等式的性质

• 求积分注意

  • 配方
  • 凑微分
  • 有理化

• 常数的01积分还是常数

• 根号里出现二次三项式，一般对其配方后做变量代换

• 注意区间再现公式的使用

• 反常积分

  • 带参数的反常积分
    • 首先判断敛散性
  • 无穷区间上的反常积分
    • 分母是二次的，分子是一次的，必发散，可以拆项将分子拆成0次的
    • 无穷区间上的反常积分的计算做出来出现无穷减无穷型的可以取极限

• 应用

  • 注意积分区域上下限的问题
  • 找好积分区间