多元函数微分学

多元函数微分学

• 重极限

  • 无洛必达法则
  • 有局部有界性、保号性、有理运算、极限与无穷小的关系和夹逼性
  • 求重极限的常用思想，函数取绝对值后夹逼放缩。注意两个基本不等式的使用

• 求重极限常用方法

  • 利用极限性质（四则运算法则，夹逼原理）
  • 消去分母中极限为零的因子（有理化，等价无穷小代换）
  • 利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量

• 证明重极限不存在

  • 常用：沿两种不同路径极限不同（通常可取过点（x0，y0）的直线）
  • 注意x轴与y轴
  • 注意以上两点满足，但不代表任意方向的极限存在

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• 偏导数

  • 注意偏导极限的变量趋向问题，是x，y二元变量还是x或y的一元变量

  • 看到高阶复合偏导数画链导图分析对变量求偏导的路径

  • 求分段函数在分界点处的偏导数一般都是用定义

  • 求具体点的偏导数往往可以用先代后求的方法（先代不是所求偏导变量的值来求另一个变量的偏导）

  • 多元出现问题可以想对应的一元如何解决

    • 知道偏导怎么求函数
      • 一元对导数做积分，不定积分结果加常数C
      • 多元对导数做偏积分，偏积分结果加任意函数φ（x）

  • 知道全微分求函数本身

    • 先选凑微分（可以分组凑）
    • 凑不出微分，使用偏积分的方法，等式两端对一个变量偏积分